Question

5．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$，求通項a_n．

Answer 1

分析 把已知的遞推式變形，得到a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），結(jié)合a₁=2，可得數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n可求．

解答 解：由a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$，可得2a_n+1=a_n+1，得2a_n+1-2=a_n-1，
∴2（a_n+1-1）=a_n-1，即a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1）．
∵a₁=2，∴a₁-1=1，
則a₂-1=$\frac{1}{2}$，
{a_n-1}是等比數(shù)列，首項為1，等比為：$\frac{1}{2}$．
a_n-1=1×$（{\frac{1}{2}）}^{n-1}$，a_n=$（{\frac{1}{2}）}^{n-1}+1$．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為：a_n=$（{\frac{1}{2}）}^{n-1}+1$．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，關(guān)鍵是對遞推公式的變形，是中檔題．