Question

13．已知l₁，l₂分別為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線，且右焦點關(guān)于l₁的對稱點在l₂上，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)出對稱點的坐標(biāo)，根據(jù)中點坐標(biāo)公式和斜率公式即可求出a與b的關(guān)系，再根據(jù)離心率公式即可求出．

解答 解：l₁，l₂分別為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線，
不妨設(shè)l₁為y=$\frac{a}$x，l₂為y=-$\frac{a}$x，
由右焦點關(guān)于l₁的對稱點l₂在上，
設(shè)右焦點F關(guān)于l₁的對稱點為M（m，-$\frac{bm}{a}$），
右焦點F坐標(biāo)為（c，0），
MF中點坐標(biāo)為（$\frac{m+c}{2}$，-$\frac{bm}{2a}$），
可得-$\frac{bm}{2a}$=$\frac{m+c}{2}$•$\frac{a}$，
解得m=-$\frac{1}{2}$c，
即有M（-$\frac{1}{2}$c，$\frac{bc}{2a}$），可得MF的斜率為$\frac{\frac{bc}{2a}}{-\frac{1}{2}c-c}$=-$\frac{3a}$，
即有-$\frac{3a}$•$\frac{a}$=-1，可得b²=3a²，即c²=a²+b²=4a²，
則c=2a，可得e=$\frac{c}{a}$=2，
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是離心率和漸近線方程，以及點的對稱問題，考查運算能力，屬于中檔題．