Question

已知函數(shù)f₁（x）=

2x-1

x+1

，對(duì)于n∈N^*，定義f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），求f_n（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)定義式定義f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x），f₆（x），從f₁（x）到f₆（x）每6個(gè)一循環(huán)．

解答： 解：∵函數(shù)f₁（x）=

2x-1

x+1

∴f₂（x）=f₁（2-

3

x+1

）=1-

1

x

，

∴f₃（x）=f₁（f₂（x））=

2 x-1 x -1

x-1 x +1

=

x-2

2x-1

，
∴f₄（x）=f₁（f₃（x））=

2 x-2 2x-1

x-2 2x-1 +1

=

-1

x-1

，
∴f₅（x）=f₁（f₄（x））=

-x-1

x-2

，
∴f₆（x）=f₁（f₅（x））=x，
∴f₇（x）=

2x-1

x+1

=f₁（x），
∴從f₁（x）到f₆（x）每6個(gè)一循環(huán)，
∴

n

6

余數(shù)為1，f_n（x）=

2x-1

x+1

，

n

6

余數(shù)為2，f_n（x）=f₂（x）=1-

1

x

，

n

6

余數(shù)為3，f_n（x）=f₃（x）=

x-2

2x-1

，

n

6

余數(shù)為4，f_n（x）=f₄（x）=

-1

x-1

，

n

6

余數(shù)為5，f_n（x）=f₅（x）=

-x-1

x-2

，

n

6

余數(shù)為6，f_n（x）=f₆（x）=x

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，定義，運(yùn)用化簡(jiǎn)式子求解即可，難度不大，屬于容易題．