考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,其他不等式的解法
專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（Ⅰ）先求f（x）=lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），再求導(dǎo)y′=f′（x）-1=
-1，（x＞0）；從而判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)得e
x＜
在（0，+∞）上有解，即m＜x-e
x，x∈（0，+∞）有解即可；設(shè)h（x）=x-e
x，h′（x）=1-e
x（
+
），從而由導(dǎo)數(shù)求解；
（Ⅲ）先求公共定義域?yàn)椋?，+∞），再構(gòu)造g（x）-f（x）=e
x-lnx=（e
x-x）-（lnx-x）；設(shè)m（x）=e
x-x，x∈（0，+∞）；設(shè)n（x）=lnx-x，x∈（0，+∞）；從而證明．
解答：
解：（Ⅰ）f（x）=lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
y′=f′（x）-1=
-1，（x＞0）；
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，y′＞0，y=f（x）-x單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，y′＜0，y=f（x）-x單調(diào)遞減；
綜上所述，函數(shù)y=f（x）-x的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）；
（Ⅱ）由題意，e
x＜
在（0，+∞）上有解，
即e
x＜x-m有解；
故m＜x-e
x，x∈（0，+∞）有解即可；
設(shè)h（x）=x-e
x，h′（x）=1-e
x（
+
），
∵
+
≥2
=
＞1，
且x∈（0，+∞）時(shí)，e
x＞1；
∴1-e
x（
+
）＜0，
即h′（x）＜0；
故h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
故h（x）＜h（0）=0；
故m＜0；
（Ⅲ）證明：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在公共定義域?yàn)椋?，+∞），
g（x）-f（x）=e
x-lnx=（e
x-x）-（lnx-x）；
設(shè)m（x）=e
x-x，x∈（0，+∞）；
∵m′（x）=e
x-1＞0，故m（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
m（x）＞m（0）=1；
又設(shè)n（x）=lnx-x，x∈（0，+∞）；
故n（x）≤n（1）=-1；
所以g（x）-f（x）=m（x）-n（x）＞1+1=2；
即函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在公共定義域內(nèi)，g（x）-f（x）＞2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題的能力，同時(shí)考查了構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用，屬于難題．
