Question

6．（1）一光線經(jīng)點(diǎn)P（5，3）被直線l：y=3x+3反射，若反射光線經(jīng)過點(diǎn)Q（1，1），求入射光線所在直線方程．
（2）已知正方形ABCD一邊AB的方程 x+2y+3=0和中心P（1，1），求邊BC和AD的方程．
（3）已知橢圓$\frac{x^2}{{3{m^2}}}+\frac{y^2}{{5{n^2}}}=1$和雙曲線$\frac{x^2}{{2{m^2}}}-\frac{y^2}{{3{n^2}}}=1$有公共的焦點(diǎn)，那么雙曲線的漸近線方程．

Answer 1

分析 （1）先求出Q（1，1）關(guān)于直線l：y=3x+3的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)C（3，4），再根據(jù)點(diǎn)C、點(diǎn)P在入射光線所在的直線上，利用兩點(diǎn)式求得入射光線PC所在的直線方程．
（2）利用中心P到邊的距離相等，建立方程，即可求邊BC和AD的方程．
（3）利用橢圓$\frac{x^2}{{3{m^2}}}+\frac{y^2}{{5{n^2}}}=1$和雙曲線$\frac{x^2}{{2{m^2}}}-\frac{y^2}{{3{n^2}}}=1$有公共的焦點(diǎn)，確定m，n的關(guān)系，即可求出雙曲線的漸近線方程．

解答 解：（1）由題意，設(shè)Q（1，1）關(guān)于直線l：y=3x+3的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-1}{a-1}•3=-1}\\{\frac{1+b}{2}=3•\frac{1+a}{2}+3}\end{array}\right.$，
∴a=-2，b=2
利用反射定律可得，C（-2，2）在入射光線所在的直線上，
由于點(diǎn)P（5，3）也在入射光線所在的直線上，故入射光線所在的直線方程為$\frac{y-2}{3-2}=\frac{x+2}{5+2}$，即x-7y+16=0；
（2）設(shè)BC的方程為2x-y+c=0，則$\frac{|1+2+3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2-1+c|}{\sqrt{5}}$，∴c=5或-7
∴AD：2x-y+5=0，BC：2x-y-7=0；
（3）∵橢圓$\frac{x^2}{{3{m^2}}}+\frac{y^2}{{5{n^2}}}=1$和雙曲線$\frac{x^2}{{2{m^2}}}-\frac{y^2}{{3{n^2}}}=1$有公共的焦點(diǎn)，
∴3m²-5n²=2m²+3n²，
∴m=±2$\sqrt{2}$n，
∴雙曲線的漸近線方程y=±$\sqrt{\frac{3{n}^{2}}{2{m}^{2}}}$x=±$\frac{\sqrt{3}}{4}$x．

點(diǎn)評 本題主要考查反射定率、求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)、用兩點(diǎn)式求直線的方程，考查直線方程，考查雙曲線、橢圓的方程與性質(zhì)，屬于中檔題．