Question

函數(shù)f（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜

π

2

）的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則當(dāng)函數(shù)f（x）在[0，

π

2

]上取得最小值時(shí)，x=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由條件根據(jù)函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性可得

π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，由此根據(jù)|φ|＜

π

2

求得φ的值．得到函數(shù)解析式即可得解．

解答： 解：函數(shù)f（x）=cos（2x+φ）（|φ|＜

π

2

）的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位后得到的函數(shù)解析式是：y=cos[2（x+

π

6

）+φ]=cos（2x+

π

3

+φ），
∵函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴可得

π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈z，
∵|φ|＜

π

2

，
∴可解得：φ=

π

6

，即有：f（x）=cos（2x+

π

6

）．
由題意x∈[0，

π

2

]，得2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴cos（2x+

π

6

）∈[-1，

3

2

]，即有當(dāng)2x+

π

6

=π即x=

5π

12

時(shí)，函數(shù)f（x）=cos（2x+

π

6

）在區(qū)間[0，

π

2

]的取最小值為-1．
故答案為：

5π

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，考查了余弦函數(shù)最值的求法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握余弦函數(shù)的性質(zhì)，能根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值，屬于基本知識(shí)的考查．