Question

11．對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若同時(shí)滿足下列條件：①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在[a，b]⊆D區(qū)間，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]，那么把y=f（x），x∈D叫閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=-x³符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）若函數(shù)$y=k+\sqrt{x+2}$是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)單調(diào)性依據(jù)閉區(qū)間的定義等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程，直接求解；
（2）根據(jù)閉函數(shù)的定義一定存在區(qū)間[a，b]，由定義直接轉(zhuǎn)化：a，b為方程x=k+$\sqrt{x+2}$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0（x≥-2，x≥k）有兩個(gè)不等的實(shí)根，由二次方程實(shí)根分布求解即可．

解答 解：（1）由題意，y=-x³在[a，b]上遞減，
則$\left\{\begin{array}{l}{b=-{a}^{3}}\\{a=-^{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
所以，所求的區(qū)間為[-1，1]；
（2）若函數(shù)$y=k+\sqrt{x+2}$是閉函數(shù)，且為[-2，+∞）的增函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]，
在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇a，b]，
即$\left\{\begin{array}{l}{a=k+\sqrt{a+2}}\\{b=k+\sqrt{b+2}}\end{array}\right.$，
可得a，b為方程x=k+$\sqrt{x+2}$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0（x≥-2，x≥k）有兩個(gè)不等的實(shí)根，
設(shè)f（x）=x²-（2k+1）x+k²-2，
當(dāng)k≤-2時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{△=（2k+1）^{2}-4（{k}^{2}-2）＞0}\\{f（-2）={k}^{2}+4k+4≥0}\\{\frac{2k+1}{2}＞-2}\end{array}\right.$，即為$\left\{\begin{array}{l}{k＞-\frac{9}{4}}\\{k∈R}\\{k＞-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得-$\frac{9}{4}$＜k≤-2，
當(dāng)k＞-2時(shí)，有$\left\{\begin{array}{l}{△=（2k+1）^{2}-4（{k}^{2}-2）＞0}\\{f（k）=-k-2≥0}\\{\frac{2k+1}{2}＞k}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{k＞-\frac{9}{4}}\\{k≤-2}\\{k∈R}\end{array}\right.$，無(wú)解，
綜上所述，k的取值范圍是（-$\frac{9}{4}$，-2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性及新定義型函數(shù)的理解，以及問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力，運(yùn)算能力，屬于中檔題．