Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{e}^{-x-1}，x＜-1}\\{（2a-1）x-2a，x≥-1}\end{array}\right.$若函數(shù)f（x）的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． a≤-$\frac{1}{4}$
• B． a＜$\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{1}{4}$≤a＜$\frac{1}{2}$
• D． a＞$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的表達式先求出當x＜-1時的取值范圍，然后根據(jù)函數(shù)f（x）的值域為R，確定當x≥-1時，函數(shù)f（x）的取值范圍即可．

解答 解：當x＜-1時，則-x-1＞0，此時f（x）=2e^-x-1＞2，
若2a-1=0，則a=$\frac{1}{2}$，此時當x≥-1時，f（x）=-1，此時函數(shù)f（x）的值域不是R，不滿足條件．
若2a-1＞0，即a＞$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）=（2a-1）x-2a，x≥-1為增函數(shù)，
此時f（x）≥-（2a-1）-2a=1-4a，此時函數(shù)的值域不是R，
若2a-1＜0，即a＜$\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）=（2a-1）x-2a，x≥-1為減函數(shù)，
此時f（x）≤-（2a-1）-2a=1-4a，
若函數(shù)的值域是R，
則1-4a≥2，即4a≤-1，即a≤-$\frac{1}{4}$，
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)值域的應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)的表達式的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論是解決本題的關(guān)鍵．