Question

7．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，若不等式f（-ax+x³+1）+f（ax-x³-1）≥2f（1）對x∈（0，$\sqrt{2}$]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [2，4]
• B． [2，+∞）
• C． [3，4]
• D． [2，3]

Answer 1

分析 由題意可得-1≤-ax+x³+1≤1對x∈（0，$\sqrt{2}$]恒成立，即 x∈（0，$\sqrt{2}$]時(shí)，a≤x²+$\frac{2}{x}$ 和 a≥x²同時(shí)恒成立．利用導(dǎo)數(shù)求得x²+$\frac{2}{x}$ 的最小值，再求得x²的最大值，可得a的范圍．

解答 解：由題意可得定義在R上的偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，f（x）在（-∞，0]上遞增，
且偶函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．
∵不等式f（-ax+x³+1）+f（ax-x³-1）≥2f（1）對x∈（0，$\sqrt{2}$]恒成立，f（-ax+x³+1）=f（ax-x³-1），
∴f（-ax+x³+1）≥f（1）對x∈（0，$\sqrt{2}$]恒成立，
∴-1≤-ax+x³+1≤1對x∈（0，$\sqrt{2}$]恒成立，
即 x∈（0，$\sqrt{2}$]時(shí)，a≤x²+$\frac{2}{x}$ 和 a≥x²同時(shí)恒成立．
令h（x）=x²+$\frac{2}{x}$，∵由 h′（x）=2x-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{2{（x}^{3}-1）}{{x}^{2}}$=0，求得x=1，
在（0，1）上，h′（x）＜0，在（1，$\sqrt{2}$]上，h′（x）＞0，故h（x）的最小值為h（1）=3，∴a≤3 ①．
再根據(jù) x∈（0，$\sqrt{2}$]時(shí)，a≥x² 恒成立，∴a≥2 ②．
結(jié)合①②可得，2≤a≤3．
故選：D

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．