Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的焦距為2$\sqrt{3}$，一條準(zhǔn)線方程為x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．過點(diǎn)（0，-2）的直線l交橢圓于A，C兩點(diǎn)（異于橢圓頂點(diǎn)），橢圓的上頂點(diǎn)為B，直線AB，BC的斜率分別為k₁，k₂．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)∠CAB=90°時(shí)，求直線l的斜率；
（3）當(dāng)直線l的斜率變化時(shí)，求k₁•k₂的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得2c=2$\sqrt{3}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）設(shè)A（x₀，y₀），由∠CAB=90°，可得k_AC•k_AB=-1，化為：${y}_{0}^{2}+{y}_{0}$-2=-${x}_{0}^{2}$，由點(diǎn)A在橢圓上，可得$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，解得y₀，x₀．可得A，及其斜率k_l．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為：y=kx-2，與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+4k²）x²-16kx+12=0，B（0，1），把根與系數(shù)的關(guān)系代入k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$$•\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-3k（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}{{x}_{1}{x}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）∵2c=2$\sqrt{3}$，$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得：c=$\sqrt{3}$，a=2，b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）設(shè)A（x₀，y₀），∵∠CAB=90°，∴k_AC•k_AB=-1，
∴$\frac{{y}_{0}+2}{{x}_{0}}$•$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$=-1，化為：${y}_{0}^{2}+{y}_{0}$-2=-${x}_{0}^{2}$，
由點(diǎn)A在橢圓上，∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+${y}_{0}^{2}$=1，∴${x}_{0}^{2}$=4-4${y}_{0}^{2}$，
∴$3{y}_{0}^{2}-{y}_{0}-2$=0，解得y₀=1或-$\frac{2}{3}$，
∵A與B不重合，∴y₀=-$\frac{2}{3}$，解得x₀=$±\frac{2\sqrt{5}}{3}$．
∴A$（±\frac{2\sqrt{5}}{3}，-\frac{2}{3}）$．
∴k_l=$±\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l的方程為：y=kx-2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（1+4k²）x²-16kx+12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，B（0，1），
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$$•\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$=$\frac{（k{x}_{1}-3）（k{x}_{2}-3）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-3k（{x}_{1}+{x}_{2}）+9}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\frac{12{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}-\frac{48{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}+9}{\frac{12}{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．