Question

12．已知函數(shù)f（x）=2cos²ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx（ω＞0）的最小正周期為π，給出下列四個(gè)命題：
（1）f（x）的最大值為3；
（2）將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$后所得的函數(shù)是偶函數(shù)；
（3）f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞增；
（4）f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對(duì)稱．
其中正確說(shuō)法的序號(hào)是（　�。�

• A． （2）（3）
• B． （1）（4）
• C． （1）（2）（4）
• D． （1）（3）（4）

Answer 1

分析 利用二倍角公式的逆運(yùn)用及輔助角公式將f（x）化簡(jiǎn)為2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，f（x）的最小正周期為π，求得ω=1，由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷函數(shù)的最大值、單調(diào)性及對(duì)稱軸，向左平移$\frac{π}{3}$后所得的函數(shù)為f（x）=2sin（2x+$\frac{5π}{6}$）+1，可判斷平移后的函數(shù)不是偶函數(shù)．

解答 解：f（x）=2cos²ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx（ω＞0），
=1+cos2ωx+$\sqrt{3}$sin2ωx，
=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1，
f（x）的最小正周期為π，根據(jù)周期公式可知：ω=1，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，f（x）的最大值為3，故（1）正確；
將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$后所得的函數(shù)為f（x）=2sin（2x+$\frac{5π}{6}$）+1，不是偶函數(shù)，故（2）錯(cuò)誤；
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
∴x∈[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]上單調(diào)遞增，
故（3）正確；
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，f（x）的圖象關(guān)于直線x=$\frac{π}{6}$對(duì)稱，故（4）正確；
故答案選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二倍角公式及輔助角公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．