Question

9．已知f（x）=2sin2xcosφ+2cos2xsinφ+m（0＜φ＜$\frac{π}{2}$），且f（x）的圖象上的一個最低點為M（$\frac{2}{3}π$，-1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（$\frac{α}{2}}$）=$\frac{1}{3}$，α∈[0，π]，求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）先利用條件求得sin（α+$\frac{π}{6}$）的值，利用同角三角的基本關(guān)系求得cos（α+$\frac{π}{6}$）的值，再根據(jù) cosα=cos[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]，利用兩角差的余弦公式計算求得結(jié)果．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin2xcosφ+2cos2xsinφ+m=2sin（2x+φ）+m，
f（x）的圖象上的一個最低點為M（$\frac{2}{3}π$，-1），∴-2+m=-1，∴m=1，f（x）=2sin（2x+φ）+1．
再根據(jù)五點法作圖可得2•$\frac{2π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$，求得φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
（2）∵f（$\frac{α}{2}}$）=2sin（α+$\frac{π}{6}$）+1=$\frac{1}{3}$，∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{3}$，
∵α∈[0，π]，∴α+$\frac{π}{6}$ 為第三象限角，∴cos（α+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（α+\frac{π}{6}）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosα=cos[（α+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}$=-$\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換、由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，屬于中檔題．