Question

20．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)P（x₀，$\frac{5}{2}$）為雙曲線上一點(diǎn)，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為1，且圓心G到原點(diǎn)O的距離為$\sqrt{5}$，則雙曲線的離心率是$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)P為第一象限的點(diǎn)，運(yùn)用圓的切線長定理，及雙曲線的定義得到A與A'重合，利用圓心G到原點(diǎn)O的距離為$\sqrt{5}$，求出a，利用等面積，結(jié)合雙曲線的定義，求出P的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)P為第一象限的點(diǎn)，
圓與F₁F₂，PF₁，PF₂的切點(diǎn)分別為A'，B，D．
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，|PD|=|PB|，|DF₁|=|A'F₁|，|BF₂|=|A'F₂|，
即為|PD|+|DF₁|-|PB|-|BF₂|=|DF₁|-|BF₂|=|A'F₁|-|A'F₂|=2a，
且|A'F₁|+|A'F₂|=2c，可得|A'F₂|=c-a，
則A與A'重合，則|OA'|=|OA|=a，
故$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\sqrt{5}$，即a=2．
又△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×|2c|=$\frac{1}{2}$（|F₁F₂|+|PF₁|+|PF₂|）×1，
∴|PF₁|+|PF₂|=3c，
∵|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=$\frac{3c+2a}{2}$，|PF₂|=$\frac{3c-2a}{2}$，
∵|PF₁|=$\sqrt{（{x}_{0}+c）^{2}+\frac{25}{4}}$，|PF₂|=$\sqrt{（{x}_{0}-c）^{2}+\frac{25}{4}}$，聯(lián)立化簡得x₀=3．
P代入雙曲線方程，聯(lián)立解得b=$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{4+5}$=3，
即有雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程與性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．