Question

2．如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，圓A的半徑為1，PQ為圓A的任意一條直徑．
（1）判斷$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$的值是否會(huì)隨點(diǎn)P的變化而變化，請(qǐng)說明理由．
（2）求$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）將$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$，利用平面向量基本定理化簡(jiǎn)成：-$\overrightarrow{AP}$²+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，再結(jié)合向量的數(shù)量積公式即可得出不會(huì)隨點(diǎn)P的變化而變化，值為1；
（2）先結(jié)合圖形利用平面向量基本定理將向量$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{CQ}$分別用向量$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AQ}$表示，再利用題中條件化成1+2cosθ，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$的最大值．

解答 解：（1）由于$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AQ}$-$\overrightarrow{AC}$）-$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$），$\overrightarrow{AP}$=-$\overrightarrow{AQ}$．
$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$=（$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AB}$）•（-$\overrightarrow{AP}$-$\overrightarrow{AC}$）-$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=-$\overrightarrow{AP}$²+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$
=-1+2×2×$\frac{1}{2}$=1．
所以$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$=1，
即$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}-\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{CB}$不會(huì)隨點(diǎn)P的變化而變化，值為1．
（2）$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$=（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AP}$）•（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AQ}$）=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AQ}$
=2×2×$\frac{1}{2}$+$\overrightarrow{AQ}$•（$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{CA}$）-$\overrightarrow{AQ}$²=2-1+$\overrightarrow{AQ}$•$\overrightarrow{BC}$
=1+1×2cosθ（其中θ為$\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{BC}$的夾角）
所以 θ=0時(shí)，$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CQ}$取最大值3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量的模、最大值問題中的應(yīng)用、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．