Question

16．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點，E的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點（0，1）是E上一點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過點F₁的直線交橢圓E于A，B兩點，且$\overrightarrow{B{F}_{1}}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}A}$，求直線BF₂的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意的離心率公式，求得a=$\sqrt{2}$b，由橢圓過點（0，1），求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得B點坐標(biāo)，求得直線BF₂的斜率，即可求得直線BF₂的方程．

解答 解：（1）由橢圓的斜率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$b，
由點（0，1）則b=1，a=$\sqrt{2}$，
橢圓E的方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)直線AB的直線方程y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，①，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，②
$\overrightarrow{B{F}_{1}}$=2$\overrightarrow{{F}_{1}A}$，則（-1-x₂，-y₂）=2（x₁+1，y₁），則2x₁+x₂=-3，③
由①②可知：x₁=$\frac{-2{k}^{2}-3}{1+2{k}^{2}}$，x₂=$\frac{3-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
代入②整理得：2k²=7，解得：k=±$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
則B（-$\frac{1}{2}$，±$\frac{\sqrt{14}}{4}$），
則直線BF₂的斜率k=±$\frac{\sqrt{14}}{6}$，
∴直線BF₂的方程：y=±$\frac{\sqrt{14}}{6}$（x-1）．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的離心率，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計算能力，屬于中檔題．