【題目】(2017·洛陽市統考)已知數列{an}的前n項和為Sn,an≠0,a1=1,且2anan+1=4Sn-3(n∈N*).
(1)求a2的值并證明:an+2-an=2;
(2)求數列{an}的通項公式.
【答案】(1)詳見解析;(2)an=.
【解析】試題分析:(1)由,可得,兩式相減可得;(2)由(1)可得數列的奇數項和偶數項分別為等差數列,討論為奇數、為偶數兩種情況,分別利用等差數列的通項公式寫出奇數項和偶數項的通項公式,進而得出數列的通項公式.
試題解析:(1)令n=1得2a1a2=4S1-3,又a1=1,
∴a2=.
2anan+1=4Sn-3,①
2an+1an+2=4Sn+1-3.②
②-①得,2an+1(an+2-an)=4an+1.
∵an≠0,∴an+2-an=2.
(2)由(1)可知:
數列a1,a3,a5,…,a2k-1,…為等差數列,公差為2,首項為1,
∴a2k-1=1+2(k-1)=2k-1,即n為奇數時,an=n.
數列a2,a4,a6,…,a2k,…為等差數列,公差為2,首項為,
∴a2k=+2(k-1)=2k-,即n為偶數時,an=n-.
綜上所述,an=.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
已知在極坐標系和直角坐標系中,極點與直角坐標系的原點重合,極軸與軸的非負半軸重合,曲線的極坐標方程為,曲線的參數方程為(為參數).
(1)求曲線的直角坐標方程和曲線的普通方程;
(2)判斷曲線與曲線的位置關系,若兩曲線相交,求出兩交點間的距離.
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【題目】已知AB是圓O的直徑,C,D是圓上不同兩點,且CD∩AB=H,AC=AD,PA⊥圓O所在平面.
(Ⅰ)求證:PB⊥CD;
(Ⅱ)若PB=,∠PBA=,∠CAD=,求H到平面PBD的距離.
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【題目】已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,f(x+1)為奇函數,f(0)=0,當x∈(0,1]時,f(x)=log2x,則在區(qū)間(8,9)內滿足方程f(x)+2=的實數x為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是AB和AA1的中點.
求證:(1)E、C、D1、F四點共面;
(2)CE、D1F、DA三線共點.
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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分別為線段AD,PC的中點.
(1)求證:AP∥平面BEF;
(2)求證:BE⊥平面PAC.
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【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準線方程為x=-1,過定點M(m,0)(m>0)作斜率為k的直線l交拋物線C于A,B兩點,E是M點關于坐標原點O的對稱點,若直線AE和BE的斜率分別為k1,k2,則k1+k2=________.
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【題目】已知向量a=(sin x,mcos x),b=(3,-1).
(1)若a∥b,且m=1,求2sin2x-3cos2x的值;
(2)若函數f(x)=a·b的圖象關于直線對稱,求函數f(2x)在上的值域.
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【題目】△ABC的內角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且2acosA=bcosC+ccosB.
(Ⅰ)求A的大;
(Ⅱ)若a=2,求b+c的取值范圍.
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