Question

10．已知函數(shù)f（x）=asinx+bcosx（其中ab≠0）且對任意的x∈R，有f（x）≤f（$\frac{π}{4}$），給出以下命題：
①a=b；
②f（x+$\frac{π}{4}$）為偶函數(shù)；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點（$\frac{5π}{4}$，0）對稱；
④函數(shù)y=f′（x）的圖象可由函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{2}$得到；
⑤函數(shù)f（x）在y軸右側(cè)的圖象與直線y=$\frac{1}{2}a$的交點按橫坐標(biāo)從小到大依次為P₁，P₂，P₃，P₄，…，則|P₂P₄|=2π．
其中正確命題的序號是①②④⑤．（將所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析 由三角函數(shù)的最大值相等列式判斷①；利用輔助角公式化簡代值判斷②；求出$f（\frac{5π}{4}）$得值判斷③；求導(dǎo)后利用函數(shù)的圖象平移判斷④；由函數(shù)圖象平移周期不變判斷⑤

解答 解：①f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}sin（x+θ）$，
∵對任意的x∈R，有f（x）≤f（$\frac{π}{4}$），
∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}（a+b）$，則2a²+2b²=（a+b）²，
∴（a-b）²=0，則a=b，故①正確；
②∵f（x）=asinx+bcosx=a（sinx+cosx）=$\sqrt{2}asin（x+\frac{π}{4}）$，
∴f（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}asin（x+\frac{π}{2}）=\sqrt{2}acosx$，
∴f（x+$\frac{π}{4}$）為偶函數(shù)，故②正確；
③∵$f（\frac{5π}{4}）$=$\sqrt{2}asin（\frac{5π}{4}+\frac{π}{4}）=\sqrt{2}asin\frac{3π}{2}=-\sqrt{2}a$≠0，故③錯誤；
④y=f′（x）=acosx-asinx=$-\sqrt{2}asin（x-\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}asin（\frac{π}{4}-x）$，
而f（x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}asin（x+\frac{π}{2}+\frac{π}{4}）=\sqrt{2}acos（x+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}asin（\frac{π}{4}-x）$，故④正確；
⑤由f（x）的周期為2π，而f（x）=$\sqrt{2}asin（x+\frac{π}{4}）$是把$y=\sqrt{2}asinx$向左平移$\frac{π}{4}$個單位得到的，
∴|P₂P₄|=2π，故⑤正確．
故答案為：①②④⑤．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓(xùn)練了三角函數(shù)的圖象平移，是中檔題．