把正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的正弦值為
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．
分析：欲使得三棱錐體積最大，因為三棱錐底面積一定，只須三棱錐的高最大即可，即當平面BAC⊥平面DAC時，三棱錐體積最大，從而可得直線BD和平面ABC所成的角的正弦值．
解答：解：如圖，當平面BAC⊥平面DAC時，三棱錐體積最大
取AC的中點E，則BE⊥平面DAC，
故直線BD和平面ABC所成的角為∠DBE
∵BE=ED
∴∠DBE=45°
∴sin∠DBE=
2
2

故答案為：
2
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點評：本題考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

把正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A、B、C、D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為（　　）
A、90°B、60°C、45°D、30°

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

8、如圖把正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，對于下面結(jié)論：
①AC⊥BD；
②CD⊥平面ABC；
③AB與BC成60°角；
④AB與平面BCD成45°角．
則其中正確的結(jié)論的序號為
①③④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

把正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則AB與平面BCD所成角為
45°
45°
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2004•黃埔區(qū)一模）把正方形ABCD沿對角線BD折疊后得到四面體ABCD，則AC與平面BCD所成角不可能是（　　）

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