Question

△ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，若

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

．
（1）求角A；
（Ⅱ）設(shè)

m

=（sinB，cos2B），

n

=（2，1），求

m

•

n

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由正弦定理將角化為邊，再由余弦定理即可求得角A；
（II）由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二倍角公式及三角換元，由二次函數(shù)的最值求法，即可得到最大值．

解答： 解：（1）由

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

則

a-c

b-c

=

b

a+c

，
即a²=b²+c²-bc，
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，得
cosA=

1

2

，
由于A為銳角，
則A=

π

3

；     
（II）

m

•

n

=2sinB+cos2B，
=2sinB+1-2sin²B
=-2sin²B+2sinB+1，B∈（0，

2π

3

），
令t=sinB，則t∈（0，1]．
則

m

•

n

=-2t²+2t+1=-2（t-

1

2

）²+

3

2

，t∈（0，1]．
∴t=

1

2

時(shí)，

m

•

n

取得最大值

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查三角函數(shù)的求值，考查二次函數(shù)的值域問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．