Question

5．如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分線，△ACD的外接圓交BC于E點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$；
（Ⅱ）若2AD=BD=AC，求$\frac{BE}{EC}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延長CD至點(diǎn)F，使得BF=BD，連接BF．證明△CAD∽△CBF，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）利用CD是∠ACB的角平分線，BD=AC=2AD，得出BC=2AC=4AD．由割線定理可得BE•BC=BD•BA，即可得出結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：延長CD至點(diǎn)F，使得BF=BD，連接BF．
因?yàn)锽F=BD，所以∠BFD=∠ADC，
因?yàn)镃D是∠ACB的角平分線，所以∠ACD=∠BCF，
所以△CAD∽△CBF
所以$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BF}$，
因?yàn)锽F=BD，所以$\frac{AC}{BC}$=$\frac{AD}{BD}$；
（Ⅱ）解：因?yàn)镃D是∠ACB的角平分線，BD=AC=2AD，
所以$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AD}$=2，
所以BC=2AC=4AD．
由割線定理可得BE•BC=BD•BA，
∴BE=$\frac{3}{2}$AD，
∴EC=4AD-$\frac{3}{2}$AD=$\frac{5}{2}$AD，
所以$\frac{BE}{EC}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查角平分線的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．