Question

10．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與直線x+2y+1=0垂直，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為C的左右焦點，A為雙曲線上一點，若|F₁A|=3|F₂A|，則cos∠AF₂F₁=（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{3\sqrt{5}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由兩直線垂直的條件可得漸近線的斜率為2，即有b=2a，再求c=$\sqrt{5}$a，運用雙曲線的定義和條件，解得三角形AF₂F₁的三邊，再由余弦定理，即可得到所求值．

解答 解：由于雙曲線的一條漸近線y=$\frac{a}$x與直線x+2y+1=0垂直，
則一條漸近線的斜率為2，
即有b=2a，c=$\sqrt{5}$a，
|F₁A|=3|F₂A|，且由雙曲線的定義，可得|F₁A|-|F₂A|=2a，
解得，|F₁A|=3a，|F₂A|=a，
又|F₁F₂|=2c，由余弦定理，可得
cos∠AF₂F₁=$\frac{{a}^{2}+20{a}^{2}-9{a}^{2}}{2×a×2\sqrt{5}a}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查兩直線的垂直的條件及余弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．