Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），向量$\overrightarrow$=（cosx，$\sqrt{3}$sin 2x），設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，x∈R．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角公式與和角公式對(duì)f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)；
（II）根據(jù)x的范圍得出2x+$\frac{π}{6}$的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）的最值．

解答 解：（I）f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（II）∵x∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
∴當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值0，當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值3．
∴函數(shù)f（x）的值域是[0，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題．