Question

2．已知α、β∈（0，π），且tanα、tanβ是方程x²-5x+6=0的兩根，試求：
（1）α+β的值；
（2）tan2（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由韋達(dá)定理可得 tanα+tanβ 和tanαtanβ，利用兩角和的正切公式求出tan（α+β）的值，由α+β 的范圍求出α+β 的值．
（2）由α+β 的值，可求2（α+β）的值，利用正切函數(shù)的圖象可求tan2（α+β）的值．

解答 解：（1）由韋達(dá)定理可得  tanα+tanβ=5，tanαtanβ=6，
故有 tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=-1，
又tanα＞0，tanβ＞0，且α，β∈（0，π），
∴α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），α+β∈（0，π），
∴α+β=$\frac{3π}{4}$．
（2）∵α+β=$\frac{3π}{4}$．
∴2（α+β）=$\frac{3π}{2}$，
∴tan2（α+β）的值不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和的正切公式，正切函數(shù)的圖象，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，求出α+β=$\frac{3π}{4}$，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．