Question

12．已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）對(duì)任意的x都滿足f（x+2）=f（x），當(dāng)-1≤x＜1時(shí)，f（x）=x³．若函數(shù)g（x）=f（x）-log_a|x|恰有6個(gè)不同零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{5}$]∪（5，7]
• B． （$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$]∪（5，7]
• C． （$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$]∪（3，5]
• D． （$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{5}$]∪（3，5]

Answer 1

分析 本題通過典型的作圖畫出log_a|x|以及f（x）的圖象，從圖象交點(diǎn)上交點(diǎn)的不同，來判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而確定底數(shù)a的大小范圍．

解答 解：首先將函數(shù)g（x）=f（x）-log_a|x|恰有6個(gè)零點(diǎn)，這個(gè)問題轉(zhuǎn)化成f（x）=log_a|x|的交點(diǎn)來解決．
數(shù)形結(jié)合：如圖，f（x+2）=f（x），知道周期為2，當(dāng)-1＜x≤1時(shí)，f（x）=x³圖象可以畫出來，同理左右平移各2個(gè)單位，得到在（-7，7）上面的圖象，
以下分兩種情況：
（1）當(dāng)a＞1時(shí)，log_a|x|如圖所示，左側(cè)有4個(gè)交點(diǎn)，右側(cè)2個(gè)，
此時(shí)應(yīng)滿足log_a5≤1＜log_a7，即log_a5≤log_aa＜log_a7，所以5≤a＜7．
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，log_a|x|與f（x）交點(diǎn)，左側(cè)有2個(gè)交點(diǎn)，右側(cè)4個(gè)，
此時(shí)應(yīng)滿足log_a5＞-1，log_a7≤-1，即log_a5＜-log_aa≤log_a7，所以5＜a^-1≤7．故$\frac{1}{7}$≤a＜$\frac{1}{5}$綜上所述，a的取值范圍是：5≤a＜7或$\frac{1}{7}$≤a＜$\frac{1}{5}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)用轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)來判斷，又綜合了奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)數(shù)運(yùn)算等知識(shí)，屬于較難的一類題，端點(diǎn)也要認(rèn)真考慮，極容易漏掉端點(diǎn)．