Question

17．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，A為雙曲線的一個頂點，以F₁F₂為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于B，C兩點，若△ABC的面積為$\frac{1}{2}{c^2}$，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用△ABC的面積為$\frac{1}{2}$c²，求出雙曲線的漸近線的方程，運用點到直線的距離公式，解方程可得c=$\sqrt{2}$a，
即可求出該雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
即為bx-ay=0，
則A（a，0）到漸近線的距離為d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{ab}{c}$，
由題意，△ABC的面積為$\frac{1}{2}$c²，
則$\frac{1}{2}$•2c•$\frac{ab}{c}$=$\frac{1}{2}$c²，
即為4a²b²=c⁴，
即有4a²（c²-a²）=c⁴，
即有c²=2a²，
即c=$\sqrt{2}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查三角形面積的計算，同時考查點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題．