Question

20．在平面直角坐標系xOy中，直線x-y+2=0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為2$\sqrt{2}$，
（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標軸交于點D，E，求|DE|的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用點到直線的距離公式求出圓心O到直線x-y+2=0的距離，再由已知的弦長，利用垂徑定理及勾股定理求出圓O的半徑，寫出圓O的方程即可；
（2）設(shè)出直線l的截距式方程，由直線l與圓相切，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出關(guān)系式，表示出DE的平方，將得出的關(guān)系式代入，整理后利用基本不等式求出DE平方的最小值，得到此時a與b的值，即可確定出此時直線l的方程．

解答 解：（1）∵圓心O到直線x-y+2=0的距離d=$\sqrt{2}$，直線截圓所得的弦長為2$\sqrt{2}$，
∴圓O的半徑r=$\sqrt{2+2}$=2，
則圓O的方程為x²+y²=4；
（2）設(shè)直線l的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，
∵直線l與圓O相切，∴圓心到直線的距離d=r，即$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=2，
整理得：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
則DE²=a²+b²=4（a²+b²）•（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$）=4（2+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$）≥16，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號，|DE|的最小值為4，此時直線l方程為x+y-2$\sqrt{2}$=0．

點評 此題考查了圓的標準方程，以及直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：垂徑定理，勾股定理，直線的截距式方程，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及法則是解本題的關(guān)鍵．