Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x（x＞0）}\\{a（x=0）}\\{{x}^{2}+bx（x＜0）}\end{array}\right.$為奇函數(shù)．
（1）求a，b的值，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）解不等式f（x）＞f（-2）

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的特點可知f（0）=0．f（-1）=-f（1），列出方程解出a，b；作出函數(shù)圖象得出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象得出答案．

解答 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{1-b=-1}\end{array}\right.$，∴a=0，b=2．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x（x＞0）}\\{0（x=0）}\\{{x}^{2}+2x（x＜0）}\end{array}\right.$．
作出f（x）的函數(shù)圖象如圖：

∴f（x）的增區(qū)間為（-1，1），減區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）．
（2）∵f（x）＞f（-2）=0，
由函數(shù)圖象可知x＜-2或0＜x＜2．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，作出f（x）的圖象是快速解決問題的方法，屬于基礎題．