8.已知函數(shù)f(x)=$\sqrt{3}$cos2x-2sinxcosx-$\sqrt{3}$sin2x.
(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,$\frac{π}{2}$]的最大值及所對應(yīng)的x值.

分析 (I)利用二倍角公式和輔助角公式對已知函數(shù)解析式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,得到:f(x)=$-2sin(2x-\frac{π}{3})$,利用正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)來求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)根據(jù)函數(shù)f(x)的定義域來求正弦函數(shù)的值域.

解答 解:( I)由已知得$f(x)=\sqrt{3}cos2x-sin2x$=$-2sin(2x-\frac{π}{3})$.
所以函數(shù)f(x)的最小正周期T=π.
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ(k∈Z)$,
得$\frac{5}{12}π+kπ≤x≤\frac{11}{12}π+kπ(k∈Z)$,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為$[\frac{5}{12}π+kπ,\frac{11}{12}π+kπ](k∈Z)$.
( II)當(dāng)$x∈[0,\frac{π}{2}]$,則$2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3},\frac{2}{3}π]$,
∴$sin(2x-\frac{π}{3})∈[-\frac{{\sqrt{3}}}{2},1]$.
故函數(shù)f(x)的最大值為$\sqrt{3}$,
由2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$得x=0,故函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,$\frac{π}{2}$]的最大值及所對應(yīng)的x值是0.

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵.

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18.$\int_{-2}^0{\sqrt{4-{{({x+2})}^2}}}$dx=π.

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19.如圖,圓O的半徑OB垂直于直徑AC,M為AO上一點(diǎn),BM的延長線交圓O于點(diǎn)N,過點(diǎn)N的切線交CA的延長線于點(diǎn)P,連接BC,CN.
(1)求證:∠BCN=∠PMN;
(2)若∠BCN=60°,PM=1,求OM的長.

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16.已知數(shù)列a1,a2,a3,a4滿足a1=a4,$\frac{1}{2}$an-$\frac{1}{2{a}_{n+1}}$=an+1-$\frac{1}{{a}_{n}}$(n=1,2,3),則a1所有可能的值構(gòu)成的集合為( 。
A.{±$\frac{1}{2}$,±1}B.{±1,±2}C.{±$\frac{1}{2}$,±2}D.{±$\frac{1}{2}$,±1,±2}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.如圖,設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-$\sqrt{2}$,0),(${\sqrt{2}$,0).直線AP,BP相交于點(diǎn)P,且它們的斜率之積為-$\frac{1}{2}$.
(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)若直線MN與軌跡C相交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=2,求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線MN距離的最大值.

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13.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知$\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{ab}$•(${\frac{a}{c}$cosB+$\frac{c}$cosA)=1.
(1)求角C;
(2)若c=$\sqrt{7}$,△ABC的周長為5+$\sqrt{7}$,求△ABC的面積S.

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20.已知函數(shù)f(x)=$\frac{ax^{2}+1}{bx+c}$(a,b,c∈N)是奇函數(shù),f(1)=2,f(2)<3.
(1)求a,b,c的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在[1,+∞)上的單調(diào)性,并用定義法證明;
(3)若f(x)-k>0,對任意的x∈[5,8)時恒成立,求k的取值范圍.

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17.已知f(x)=lnx-$\frac{2(x-1)}{x+1}$(x>1).
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)證明:①ln$\frac{n}{n-1}$>$\frac{1}{n}$;
②$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$<lnn(n∈N,n≥2).

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18.設(shè)集合M={-1,0,1},N={x|x2+x≤0},則M∩N=( 。
A.{-1}B.{-1,0}C.{0,1}D.{0}

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