分析 (1)連接ON,則ON⊥PN,由半徑相等可得OB=ON,可得∠OBM=∠ONB,利用切線(xiàn)的性質(zhì)和已知可得∠BOM=∠ONP=90°,進(jìn)而可得∠PMN=∠PNM,再利用切割線(xiàn)定理即可證明;
(2)證明△PMN為等邊三角形,得到MN=PM=1.設(shè)圓的半徑為r,則在△BOM中,OB=r,OM=$\frac{r}{\sqrt{3}}$,MB=$\frac{2r}{\sqrt{3}}$,根據(jù)相交弦定理MB•MN=MA•MC,即可得出結(jié)論.
解答 (1)證明:連接ON,則ON⊥PN,∵OB=ON,∴∠OBM=∠ONB,
∵PN是⊙O的切線(xiàn),∴ON⊥NP.
∵BO⊥AC,
∴∠BOM=∠ONP=90°,∴∠OMB=∠MNP.
又∠BMO=∠PMO,∴∠PNM=∠PMN,
∵∠BCN=∠PNM,
∴∠BCN=∠PMN;
(2)解:∵∠PNM=∠PMN=∠BCN=60°,
∴△PMN為等邊三角形,
∴MN=PM=1.
設(shè)圓的半徑為r,則在△BOM中,OB=r,OM=$\frac{r}{\sqrt{3}}$,MB=$\frac{2r}{\sqrt{3}}$
根據(jù)相交弦定理MB•MN=MA•MC,
可得$\frac{2r}{\sqrt{3}}×1=(r-\frac{r}{\sqrt{3}})(r+\frac{r}{\sqrt{3}})$,∴r=$\sqrt{3}$,
∴OM=1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的切割線(xiàn)定理、相交弦定理的運(yùn)用,考查推理和運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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