Question

已知冪函數(shù)y=f（x）經(jīng)過點(diǎn)（2，

1

8

）．
（1）試求函數(shù)解析式；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：冪函數(shù)的性質(zhì),奇偶性與單調(diào)性的綜合,冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意，得f（2）=2^a=

1

8

＜a=-3，
故函數(shù)解析式為f（x）=x^-3．
（2）∵f（x）=x^-3=

1

x3

，
∴要使函數(shù)有意義，則x≠0，
即定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∵f（-x）=（-x）^-3=-x^-3=-f（x），
∴該冪函數(shù)為奇函數(shù)． 
當(dāng)x＞0時，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知f（x）=x^-3．在（0，+∞）為減函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴在（-∞，0）函數(shù)也為減函數(shù)，
故其單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查冪函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，根據(jù)條件求出冪函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．