Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，記f（x）=$\frac{3}{2}$|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，則f（x）的最小值為（　　）

• A． 2
• B． $\frac{17}{8}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}-1}}{2}$
• D． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的定義求出向量數(shù)量積和向量模長(zhǎng)，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$）•（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cos（$\frac{3x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=cos2x，
則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|²=$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow$²=2+2cos2x=2+2（2cos²x-1）=4cos²x
則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2|cosx|，
∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，∴cosx∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
則|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=2|cosx|=2cosx，
則f（x）=$\frac{3}{2}$|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{3}{2}$×2cosx-cos2x=3cosx-cos2x=3cosx-2cos²x+1=-2（cosx-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，
∵cosx∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴當(dāng)cosx=1時(shí)，函數(shù)取得最小值此時(shí)y=3-2+1=2，
函數(shù)f（x）的最小值為2，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的最值的求解，利用向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)公式，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．