【題目】已知點(diǎn)在拋物線上,且到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于2.

求拋物線的方程;

若直線與拋物線相交于兩點(diǎn),且為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證直線恒過軸上的某定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】(1);(2)

【解析】試題分析:(1)由拋物線的定義,可知,代入即可求解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

證明:當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè),求得點(diǎn)坐標(biāo),代入即可求解的值,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線,代入拋物線的方程,由韋達(dá)定理得到

,再由,即,根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,求得的關(guān)系,代入直線方程,即可判定直線過定點(diǎn).

試題解析:

(1)∵點(diǎn)在拋物線上,點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于2.

,∴拋物線的方程為

(2)證明:當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)與拋物線第一象限交于點(diǎn),

,∴,代入整理得,解得,

∴故直線恒過定點(diǎn)

當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線

聯(lián)立

依題意有,則韋達(dá)定理可知:

, ,∴,即

將①代入化簡(jiǎn)得,故,此時(shí)直線

直線恒過軸上的定點(diǎn).

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)是公比為正數(shù)的等比數(shù)列, .

(1)求的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

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【題目】已知x>0,y>0,且x+y=1,求:
(1)x2+y2的最小值;
(2) + + 的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an , 前n項(xiàng)和為sn , 且an是sn與2的等差中項(xiàng),數(shù)列{bn}中,b1=1,點(diǎn)P(bn , bn+1)在直線x﹣y+2=0上. (Ⅰ)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式an , bn
(Ⅱ)設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Bn , 試比較 與2的大。
(Ⅲ)設(shè)Tn= ,若對(duì)一切正整數(shù)n,Tn<c(c∈Z)恒成立,求c的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知直線與拋物線相切,且與軸的交點(diǎn)為,點(diǎn).若動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)所構(gòu)成三角形的周長為6.

(Ⅰ) 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;

(Ⅱ) 設(shè)斜率為的直線交曲線兩點(diǎn),當(dāng),且位于直線的兩側(cè)時(shí),證明: .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中, , 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(Ⅰ)討論的單調(diào)性;

(Ⅱ)設(shè)函數(shù),證明: .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn),在培訓(xùn)期間他們參加的5次預(yù)寒成績記錄如下:

甲:82,82,79,95,87

乙:95,75,80,90,85

(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù);

(2)求甲、乙兩人成績的平均數(shù)與方差;

(3)若現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適,說明理由?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2x﹣cosx,{an}是公差為 的等差數(shù)列,f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,則[f(a3)]2﹣a1a5=(
A.0
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】教育學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)加強(qiáng)語文樂隊(duì)理解訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān),某校興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論,從該校選擇甲乙兩個(gè)同軌班級(jí)進(jìn)行試驗(yàn),其中甲班加強(qiáng)閱讀理解訓(xùn)練,乙班常規(guī)教學(xué)無額外訓(xùn)練,一段時(shí)間后進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用題測(cè)試,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)情況如下面的列聯(lián)表(單位:人)

(1)能夠據(jù)此判斷有97.5%把握熱內(nèi)加強(qiáng)語文閱讀訓(xùn)練與提高數(shù)學(xué)應(yīng)用題得分率有關(guān)?

(2)經(jīng)過多次測(cè)試后,小明正確解答一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時(shí)間在5—7分鐘,小剛正確解得一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題所用的時(shí)間在6—8分鐘,現(xiàn)小明、小剛同時(shí)獨(dú)立解答同一道數(shù)學(xué)應(yīng)用題,求小剛比小明現(xiàn)正確解答完的概率;

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