【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2x﹣cosx,{an}是公差為 的等差數(shù)列,f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,則[f(a3)]2﹣a1a5=( )
A.0
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解:∵f(x)=2x﹣cosx, ∴f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=2(a1+a2+…+a5)﹣(cosa1+cosa2+…+cosa5),
∵{an}是公差為 的等差數(shù)列,
∴a1+a2+…+a5=5a3 , 由和差化積公式可得,
cosa1+cosa2+…+cosa5
=(cosa1+cosa5)+(cosa2+cosa4)+cosa3
=[cos(a3﹣ ×2)+cos(a3+
×2)]+[cos(a3﹣
)+cos(a3+
)]+cosa3
=2cosa3cos +2cosa3cos(﹣
)+cosa3=cosa3(1+
+
),
則cosa1+cosa2+…+cosa5的結(jié)果不含π,
又∵f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,
∴cosa3=0,故a3= .
[f(a3)]2﹣a1a5=π2﹣( ﹣2
)
=
.
故選:D.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握在等差數(shù)列{an}中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng);相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為
,滿足
,且
,公比大于1的等比數(shù)列
滿足
,
.
(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式;
(2)若,求數(shù)列
的前n項(xiàng)和
;
(3)在(2)的條件下,若對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)在拋物線
上,且
到拋物線
的焦點(diǎn)
的距離等于2.
求拋物線的方程;
若直線與拋物線
相交于
兩點(diǎn),且
為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證直線
恒過
軸上的某定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)電飯煲,每年需投入固定成本40萬元,每生產(chǎn)1萬件還需另投入16萬元的變動(dòng)成本,設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)電飯煲萬件并全部銷售完,每一萬件的銷售收入為
萬元,且
(
),該公司在電飯煲的生產(chǎn)中所獲年利潤為
(萬元),(注:利潤=銷售收入-成本)
(1)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量
(萬件)的函數(shù)解析式,并求年利潤的最大值;
(2)為了讓年利潤不低于2360萬元,求年產(chǎn)量
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中
是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),
,
.
(1)記函數(shù),且
,求
的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若對(duì)任意,
,
,均有
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在棱臺(tái)中,
與
分別是棱長為1與2的正三角形,平面
平面
,四邊形
為直角梯形,
,
,
為
中點(diǎn),
(
,
).
(1)設(shè)中點(diǎn)為
,
,求證:
平面
;
(2)若到平面
的距離為
,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家,某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水,計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案,擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)(噸),一位居民的月用水量不超過
的部分按平價(jià)收費(fèi),超過
的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況,通過抽樣,獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照
,
,
,
分成9組,制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)求直方圖中的值;
(Ⅱ)若將頻率視為概率,從該城市居民中隨機(jī)抽取3人,記這3人中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為,求
的分布列與數(shù)學(xué)期望.
(Ⅲ)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)(噸),估計(jì)
的值(精確到0.01),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩條直線l1(3+m)x+4y=5﹣3m,l2 2x+(5+m)y=8.當(dāng)m分別為何值時(shí),l1與l2:
(1)相交?
(2)平行?
(3)垂直?
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