Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-|x|+2a-1（a為實常數(shù)）．
（1）若a=1，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若a＞0，設f（x）在區(qū)間[1，2]的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析：（1）對解析式進行配方整理，根據(jù)二次函數(shù)頂點點式的形式，結合對稱軸來判斷函數(shù)的單調區(qū)間．本題中的函數(shù)由于帶著絕對值號，故在研究函數(shù)性質時要先去絕對值號變成分段函數(shù)形式來研究函數(shù)的性質．
（2）本小題研究區(qū)間區(qū)間[1，2]的最小值，故可以直接去掉絕對值號，仍然要配方整理，整理后可以看出，本題是二次函數(shù)求最值問題中區(qū)間定軸動的問題，故分類討論對稱軸的位置，以確定區(qū)間[1，2]單調性，求出最小值為g（a），其形式是一個分段函數(shù)的形式．

解答：解：（1）a=1時，f(x)=x2-|x|+1=

x2-x+1，x≥0 x2+x+1，x＜0

=

(x- 1 2 )2+ 3 4 ，x≥0 (x+ 1 2 )2+ 3 4 ，x＜0

（2分）
∴f（x）的單調增區(qū)間為（

1

2

，+∞），（-

1

2

，0）f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，-

1

2

），（0，

1

2

）
（2）由于a＞0，當x∈[1，2]時，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-

1

2a

)2+2a-

1

4a

-1
100＜

1

2a

＜1即a＞

1

2

f（x）在[1，2]為增函數(shù)g（a）=f（1）=3a-2
201≤

1

2a

≤2即

1

4

≤a≤

1

2

時，g(a)=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1
30

1

2a

＞2即0＜a＜

1

4

時f（x）在[1，2]上是減函數(shù)g（a）=f（2）=6a-3
綜上可得g(a)=

6a-3，0＜a＜ 1 4 2a- 1 4a -1 1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2，a＞ 1 2

（10分）
所以實數(shù)a的取值范圍是[-

1

2

，1]

點評：本題考點是函數(shù)的單調性與單調區(qū)間，考查的是二次函數(shù)的單調性與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，二次函數(shù)的單調性的研究通常借助其圖象來研究，本題中由于函數(shù)的系數(shù)帶著字母，故需要對對稱軸的位置進行討論，用到了分類討論的思想，區(qū)間定軸動是二次函數(shù)求最值問題的重要的一類，其規(guī)律是在不同的區(qū)間段上討論函數(shù)的單調性，做題時要注意總結這一規(guī)律．