已知函數(shù)y=4x-3•2x+3.
(1)若函數(shù)的定義域?yàn)閤∈[0,2],求該函數(shù)的值域.
(2)若該函數(shù)的值域?yàn)閇7,43],試確定x的取值范圍.
考點(diǎn):函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)通過(guò)換元法令t=2x,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f(t)=t2-3t+3在給定范圍1≤t≤4內(nèi)進(jìn)行求解,最后根據(jù)二次函數(shù)值域的求解方法進(jìn)行求解即可.
(2)令t=2x(t>0),可得f(t)=t2-3t+3,由函數(shù)的值域?yàn)閇7,43],得7≤t2-3t+3≤43,解出4≤t≤8,再將t還原成2x,最后解關(guān)于x的不等式,即可得到實(shí)數(shù)x的取值范圍.
解答: 解:(1)令t=2x,則1≤t≤4,
∵f(x)=(2x2-3•2x+3,
∴f(t)=t2-3t+3,
∴對(duì)稱軸t=
3
2

∴函數(shù)f(t)在[0,
3
2
]上單調(diào)遞減,在(
3
2
,2]上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)t=
3
2
時(shí),函數(shù)f(t)有最小值,為f(
3
2
)=
3
4
,
當(dāng)t=0時(shí),函數(shù)f(t)有最小值,為f(0)=3,
∴函數(shù)的值域?yàn)閇
3
4
,3]
(2)∵函數(shù)的值域?yàn)閇7,43],
∴解不等式7≤t2-3t+3≤43,可得
t2-3t-4≥0
t2-3t-40≤0
,
解此不等式組,由t>0,得4≤t≤8,
∴4≤2x≤8,即2≤x≤3,
因此,x的取值范圍是[2,3].
點(diǎn)評(píng):二次函數(shù)求最值是我們?cè)偈煜げ贿^(guò)的函數(shù)了,問(wèn)題的關(guān)鍵是能否把我們不熟悉的函數(shù)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的二次函數(shù).而且采用換元法轉(zhuǎn)化函數(shù)的時(shí)候,一定要注意換元后變量的范圍.
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“1<m<3”是“方程
x2
m-1
+
y2
3-m
=1表示橢圓”的(  )
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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若變量x,y滿足線性約束條件
x-y+1≥0
2x+y-a≥0
x≤2
,且3x+y的最小值為1,則a=( 。
A、0B、-1C、1D、2

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若以F為右焦點(diǎn)的雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左支上存在一點(diǎn)P,使得線段PF被y=
b
a
x垂直平分,則雙曲線的離心率是
 

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已知定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)=
8x-8,1≤x<
3
2
-8x+16,
3
2
≤x≤2
1
2
f(
x
2
),x>2
,則關(guān)于x的方程2nf(x)-1=0(n∈N*)的所有解的和為 ( 。
A、3n2+3n
B、3×2n+2+9
C、3n+2+6
D、9×2n+1-3

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如圖是某幾何體的三視圖(單位:cm),正視圖是等腰梯形,俯視圖中的曲線是兩個(gè)同心的半圓,側(cè)視圖是直角梯形.則該幾何體的體積等于
 
cm3,它的表面積等于
 
cm2

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在△ABC中,AC邊上的高BD所在直線方程為2x+y-3=0,∠CAB的角平分線所在直線方程為y=1,若點(diǎn)C坐標(biāo)為(3,3).
(Ⅰ)求直線AC的方程和點(diǎn)A的坐標(biāo);
(Ⅱ)求點(diǎn)B的坐標(biāo).

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已知函數(shù)f(x)=
x2+2x+a
x
,x∈[1,+∞),當(dāng)a=-
1
2
時(shí),求函數(shù)的最小值.

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正方形ABCD邊長(zhǎng)為2,H為AD的中點(diǎn),在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則|PH|<
2
的概率為
 

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