Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{8π}{3}}\\{y=-4+tsin\frac{8π}{3}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ²-3ρ-4=0（ρ≥0）．
（1）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)系方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，求∠AOB的值．

Answer 1

分析 （1）運用特殊角的三角函數(shù)值及代入法，可得直線l的普通方程；解得ρ=4，由x²+y²=ρ²，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求得圓心到直線的距離，弦長AB，由余弦定理，計算即可得到所求∠AOB的值．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{8π}{3}}\\{y=-4+tsin\frac{8π}{3}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
即為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，消去t，可得直線l的普通方程為$\sqrt{3}$x+y+4=0；
曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ²-3ρ-4=0（ρ≥0）．即為ρ=4，（-1舍去），
由x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x²+y²=16；
（2）圓C的圓心為（0，0），半徑r=4，
C到直線的距離為d=$\frac{|0+0+4|}{\sqrt{3+1}}$=2，
|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-szus3ud^{2}}$=2$\sqrt{16-4}$=4$\sqrt{3}$，
由余弦定理可得cos∠AOB=$\frac{O{A}^{2}+O{B}^{2}-A{B}^{2}}{2OA•OB}$=$\frac{16+16-48}{2×4×4}$=-$\frac{1}{2}$，
可得$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化，直線和圓相交的圓心角的求法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．