Question

8．如圖，在△ABC中，點D為線段BA延長線上的一點，且∠BDC=∠ACB，⊙O為△ADC的外接圓．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3$\sqrt{2}$，求AD的長度．

Answer 1

分析 （1）作直徑CE，連接AE；先證明∠ACB=∠E，再證∠ACB+∠ACE=90°，即∠BCE=90°，即可證出BC為⊙O的切線；
（2）作AF⊥BC于F，先求出BC、BD的長，再求AD的長度．

解答 證明：（1）作直徑CE，連接AE；如圖所示：
∵CE是⊙O的直徑，
∴∠CAE=90°，
∴∠E+∠ACE=90°，
∵∠D=∠ACB，∠D=∠E，
∴∠ACB=∠E，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
即∠BCE=90°，
∴BC為⊙O的切線；
解：（2）作AF⊥BC于F，如圖所示：
∵∠B=45°，
∴AF=BF=AB•sin45°=3，
∵∠ACB=60°，
∴EC=$\sqrt{3}$，
∴BC=3+$\sqrt{3}$，
∵BC²=BA•BD，
∴BD=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∴AD=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了圓周角定理、切線的判定與性質、切割線定理以及銳角三角函數(shù)；主要考查學生綜合運用定理進行推理和計算的能力．