Question

17．函數(shù)y=$\frac{{{x^2}+2x+2}}{x+1}$的值域是（　�。�

• A． {y|y＜-2或y＞2}
• B． {y|y≤-2或y≥2}
• C． {y|-2≤y≤2}
• D． $\left\{{y|y≤-2\sqrt{2}或y≥2\sqrt{2}}\right\}$

Answer 1

分析 把已知函數(shù)式變形，然后分類利用基本不等式求得函數(shù)的最值，則函數(shù)的值域可求．

解答 解：y=$\frac{{{x^2}+2x+2}}{x+1}$=$\frac{（x+1）^{2}+1}{x+1}=（x+1）+\frac{1}{x+1}$，
當(dāng)x+1＞0時，有$y=（x+1）+\frac{1}{x+1}≥2\sqrt{（x+1）•\frac{1}{x+1}}=2$，
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=$\frac{1}{x+1}$，即x+1=1，也就是x=0時上式等號成立；
當(dāng)x+1＜0時，有y=-[-（x+1）+$\frac{1}{-（x+1）}$]$≤-\sqrt{[-（x+1）]•\frac{1}{-（x+1）}}=-2$，
當(dāng)且僅當(dāng)-（x+1）=-$\frac{1}{x+1}$，即x+1=-1，也就是x=-2時上式等號成立．
∴函數(shù)y=$\frac{{{x^2}+2x+2}}{x+1}$的值域是{y|y≤-2或y≥2}．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)值域的求法，訓(xùn)練了利用基本不等式求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．