Question

6．若a＞0，設命題p：{x|x²-4ax+3a²≥0}，命題q：{x|x²-x-6≥0，且x²+2x-8＜0}
（1）如果a=1，且p∧q為真時，求實數x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 a＞0，設命題p：x²-4ax+3a²≥0，解出可得：A=（a，3a）．命題q：聯立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≥0}\\{{x}^{2}+2x-8＜0}\end{array}\right.$，可得解集B=（-4，2]．
（1）如果a=1，A=（1，3），利用p∧q為真，p與q都為真命題．
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件時，則q是p的充分不必要條件．即可得出．

解答 解：a＞0，設命題p：x²-4ax+3a²≥0，解得a＜x＜3a，設A=（a，3a）．
命題q：聯立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-6≥0}\\{{x}^{2}+2x-8＜0}\end{array}\right.$，解得-4＜x≤-2，設B=（-4，2]．
（1）如果a=1，A=（1，3），∵p∧q為真，∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{-4＜x≤2}\end{array}\right.$，解得1＜x≤2．
∴實數x的取值范圍是（1，2]．
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件時，
則q是p的充分不必要條件．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥-4}\\{3a≤2}\end{array}\right.$，解得$-4≤a≤\frac{2}{3}$．
∴實數a的取值范圍是$[-4，\frac{2}{3}]$．

點評 本題考查了不等式的性質、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．