Question

在直角坐標系xOy中，以M（-1，0）為圓心的圓與直線x-

3

y-3=0相切．
（Ⅰ）求圓M的方程；
（Ⅱ）如果圓M上存在不同兩點關于直線mx+y+1=0對稱，求m的值；
（Ⅲ）若對圓M上的任意動點P（x，y），求2x+y的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,圓的標準方程

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）由直線與圓相切，得到圓心到切線的距離d等于半徑r，利用點到直線的距離公式求出圓心M到已知直線的距離d，即為圓M的半徑，寫出圓M方程即可；
（Ⅱ）由圓上存在兩點關于直線mx+y+1=0對稱，得到直線mx+y+1=0過圓心，將M坐標代入直線中，即可求出m的值；
（Ⅲ）設z=2x+y，即2x+y-z=0，圓M的圓心為（-1，0），半徑為2，則M到直線2x+y-z=0的距離為

|-2-z|

22+12

=

|2+z|

5

，由題意

|2+z|

5

≤2，解不等式可得所求范圍．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，圓心M（-l，0）到直線x-

3

y-3=0的距離d=r，
∴d=

|-1-3|

1+3

=2=r，
則圓M的方程為（x+1）²+y²=4；
（Ⅱ）圓M上存在兩點關于直線mx+y+1=0對稱，
∴直線mx+y+1=0必過圓心M（-1，0），
將M坐標代入mx+y+1=0得：-m+1=0，
解得：m=1；
（Ⅲ）設z=2x+y，即2x+y-z=0，圓M的圓心為（-1，0），半徑為2，
則M到直線2x+y-z=0的距離為

|-2-z|

22+12

=

|2+z|

5

，
由題意

|2+z|

5

≤2，即z²+4z-16=0，解得-2

5

-2≤z≤2

5

-2，
所以2x+y∈[-2

5

-2，2

5

-2]．

點評：此題考查了圓的標準方程，涉及的知識有：點到直線的距離公式，兩點間的距離公式，對稱的性質，平面向量的數(shù)量積運算法則，以及點與圓、直線與圓的位置關系，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．