Question

在△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，一條直線分△ABC的面積為相等的兩個部分，且夾在AB與BC之間的線段最短，求此線段長．

Answer 1

考點：兩點間距離公式的應用

專題：綜合題,解三角形

分析：由C為直角，在直角三角形ABC中，由邊AC及BC的長，利用勾股定理求出AB的長，再根據兩直角邊乘積的一半求出三角形ABC的面積，同時根據銳角三角函數定義求出sinB及cosB的值，設線段BE的長度為x，線段BF的長度為y，由直線EF把三角形分為面積相等的兩部分，可得三角形BEF的面積等于三角形ABC面積的一半，由x，y及sinB的值，利用三角形的面積公式列出關系式，求出xy的值，在三角形BEF中，由x，y及cosB的值，利用余弦定理得|EF|²=x²+y²-2xycosB，把cosB的值代入，利用基本不等式變形，再將xy的值代入，即可求出|EF|的最小值，以及取得最小值時x與y的值．

解答： 解：∵C=90°，|AC|=3，|BC|=4，
∴根據勾股定理得：|AB|=5，
∴S_△ABC=

1

2

|BC|•|AC|=6，
∴sinB=

3

5

，
設|BE|=x，|BF|=y，
∵S_△BEF=

1

2

S_△ABC，
∴

1

2

xysinB=

3

10

xy=3，
∴xy=10，
在△BEF中，|BE|=x，|BF|=y，cosB=

4

5

，
由余弦定理有：|EF|²=x²+y²-2xycosB=x²+y²-16≥2xy-16=4，
當且僅當x=y=

10

時取等號，
∴|EF|_min=2．

點評：此題考查了勾股定理，銳角三角函數定義，三角形的面積公式，余弦定理，以及基本不等式的應用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．