Question

已知sinθ，cosθ是方程x²-ax+a=0兩根（θ∈（0，π）），求下列值．
（1）sinθ，cosθ；
（2）sinθ-cosθ．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由已知方程有根得到根的判別式大于等于0，求出a的范圍，再利用韋達(dá)定理得到sinθ+cosθ=a，sinθcosθ=a，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出a的值，即可確定出sinθ與cosθ的值；
（2）由題意得到sinθ-cosθ大于0，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sinθ-cosθ的值即可．

解答： 解：（1）依題意，△=（-a）²-4a≥0，解得：a≥4或a≤0，
∵sinθ，cosθ是方程x²-ax+a=0兩根（θ∈（0，π）），
∴sinθ+cosθ=a，sinθcosθ=a，
∵（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
∴a²-2a-1=0，
解得：a=

2±2 2

2

，即a=1+

2

（舍去）或a=1-

2

，
∴

sinθ+cosθ=1- 2 sinθcosθ=1- 2

，
解得：sinθ=

1- 2 + 2 2 -1

2

，cosθ=

1- 2 - 2 2 -1

2

；
（2）∵sinθcosθ=1-

2

，且sinθ-cosθ＞0，
∴（sinθ-cosθ）²=1-2sinθcosθ=1-2（1-

2

）=1-2+2

2

=2

2

-1，
則sinθ-cosθ=

2 2 -1

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．