Question

設(shè)△ABC中，AD為內(nèi)角A的平分線，交BC邊于點D，|

AB

|=3，|

AC

|=2，∠BAC=60°，則

AD

•

BC

=

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：首先利用三角形的角平分線的性質(zhì)得到BD：BC=3：5，再由余弦定理求出BC的長度，結(jié)合菱形的性質(zhì)以及三角形相似求出DH，再由余弦定理求AD的長度，然后將

BC

表示為

AC

-

AB

，然后進(jìn)行向量是數(shù)量積運(yùn)算．

解答： 解：△ABC中，作DG‖AB，DH‖AC，則四邊形AHDG為平行四邊形．
如圖，∵AD為內(nèi)角A的平分線，∠ABC=60°，∴∠BAD=∠DAC=30°，
由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)可得

BD

DC

=

AB

AC

=

3

2

，
∴

BD

BC

=

3

5

．
△ABC中，由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=9+4-2×3×2×

1

2

=7，
再根據(jù)∠BHD=∠BAD+∠ADH，∴∠ADH=30°，
∴AH=HD，∴AHDG為菱形．
由△BDH∽△BCA，

DH

AC

=

BD

AC

=

3

5

，
∴DH=

6

5

=AH．
再根據(jù)∠AHD=120°，△ABD中，由余弦定理可得AD²=AH²+HD²-2AH•HD•cos∠AHD
=（

6

5

）2+（

6

5

）²-2×

6

5

×

6

5

×（-

1

2

）=3×（

6

5

）2，
∴AD=

6

5

3

．
∴

AD

•

BC

=

AD

•(

AC

-

AB

)=

AD

•

AC

-

AD

•

AB

=

6

5

3

×2×

3

2

-

6

5

3

×3×

3

2

=-

9

5

；
故答案為：-

9

5

．

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運(yùn)算，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．