Question

已知點M（-2，0），N（2，0），動點P滿足條件，記動點P的軌跡為W．
（1）求W的方程；
（2）過N（2，0）作直線l交曲線W于A，B兩點，使得|AB|=2，求直線l的方程．
（3）若從動點P向圓C：x²+（y-4）²=1作兩條切線，切點為A、B，令|PC|=d，試用d來表示，若=，求P點坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由，知點P的軌跡是以M（-2，0），N（2，0）為焦點，
實軸長為的雙曲線．
即設(shè)
所以所求的W的方程為x²-y²=2
（2）若k不存在，即x=2時，可得A（2，），B（2，-），|AB|=2滿足題意；
若k存在，可設(shè)l：y=k（x-2）
聯(lián)立，?（1-k²）x²+4k²x-4k²-2=0
由題意知?k∈R且k≠±1
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=
即=2?k=0即l：y=0
所以直線l的方程為x=2或y=0
（3）
==
由知5d⁴-51d²+10=0
∴或10
設(shè)P（x，y），則d²=x²+（y-4）²=y²+2+（y-4）²=2y²-8y+18
所以或2y²-8y+18=10
解得y=2此時x=即P（，2）
分析：（1）根據(jù)所給的動點P所滿足的條件，看出點P是到兩個定點距離之差等于定值，得到圖形是雙曲線，根據(jù)雙曲線的定義，寫出方程．
（2）本題是一個弦長問題，已知直線過定點，要設(shè)直線的方程，首先注意直線的斜率是否存在，不存在的情況要單獨說明，存在時設(shè)出斜率，寫出方程，聯(lián)立方程，根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系，寫出弦長的表達式，得到未知數(shù)．
（3）首先寫出兩個向量的數(shù)量積的表示式，用d來表示，根據(jù)數(shù)量積的值，得到關(guān)于d的方程，解出結(jié)果，針對于所求的兩種情況，求出對應(yīng)的點的坐標(biāo)．
點評：先求軌跡的方程，再利用方程來解決直線與圓錐曲線的問題，是解析幾何中常見的一種題型，本題所給的求軌跡的方法是定義法，這樣可以減少題目的運算量，注意設(shè)直線的方程時，要討論直線的斜率不存在的情況．