Question

6．已知圓C經(jīng)過點A（0，2），B（2，0），圓C的圓心在圓x²+y²=2的內(nèi)部，且直線3x+4y+5=0被圓C所截得的弦長為$2\sqrt{3}$．點P為圓C上異于A，B的任意一點，直線PA與x軸交于點M，直線PB與y軸交于點N．
（1）求圓C的方程；
（2）求證：|AN|•|BM|為定值．

Answer 1

分析 （1）直線3x+4y+5=0被圓C所截得的弦長為$2\sqrt{3}$，且$r=\sqrt{{a^2}+{{（{a-2}）}^2}}$，C（a，a）到直線3x+4y+5=0的距離$d=\frac{{|{7a+5}|}}{5}=\sqrt{{r^2}-3}=\sqrt{2{a^2}-4a+1}$，即可求圓C的方程；
（2）分類討論，求出直線PA，PB的方程，可得M，N的坐標，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：知點C在線段AB的中垂線y=x上，故可設C（a，a），圓C的半徑為r．
∵直線3x+4y+5=0被圓C所截得的弦長為$2\sqrt{3}$，且$r=\sqrt{{a^2}+{{（{a-2}）}^2}}$，
∴C（a，a）到直線3x+4y+5=0的距離$d=\frac{{|{7a+5}|}}{5}=\sqrt{{r^2}-3}=\sqrt{2{a^2}-4a+1}$，
∴a=0，或a=170．
又圓C的圓心在圓x²+y²=2的內(nèi)部，∴a=0，圓C的方程x²+y²=4．
（2）證明：當直線PA的斜率不存在時，|AN|•|BM|=8．
當直線PA與直線PB的斜率存在時，
設P（x₀，y₀），直線PA的方程為$y=\frac{{{y_0}-2}}{x_0}x+2$，令y=0得$M（{\frac{{2{x_0}}}{{2-{y_0}}}，0}）$．
直線PB的方程為$y=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（{x-2}）$，令x=0得$N（{0，\frac{{2{y_0}}}{{2-{x_0}}}}）$．
∴$|{AN}|•|{BM}|=（{2-\frac{{2{y_0}}}{{2-{x_0}}}}）（{2-\frac{{2{x_0}}}{{2-{y_0}}}}）=4+4[{\frac{y_0}{{{x_0}-2}}+\frac{x_0}{{{y_0}-2}}+\frac{{{x_0}{y_0}}}{{（{{x_0}-2}）（{{y_0}-2}）}}}]$
=$4+4×\frac{{y_0^2-2{y_0}+x_0^2+{x_0}{y_0}}}{{（{{x_0}-2}）（{{y_0}-2}）}}=4+4×\frac{{4-2{y_0}-2{x_0}+{x_0}{y_0}}}{{（{{x_0}-2}）（{{y_0}-2}）}}=4+4×\frac{{4-2{y_0}-2{x_0}+{x_0}{y_0}}}{{4-2{y_0}-2{x_0}+{x_0}{y_0}}}=8$，
故|AN|•|BM|為定值為8

點評 本題考查圓的方程，考查直線的方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．