設A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓C：＝1(a>b>0)上兩點，已知m＝，n＝，若m·n＝0且橢圓的離心率e＝，短軸長為2，O為坐標原點．
(1)求橢圓的方程；
(2)試問△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．
（1）＋x2＝1（2）是
(1)∵2b＝2，∴b＝1，∴e＝＝.
∴a＝2，c＝.故橢圓的方程為＋x2＝1.
(2)①當直線AB斜率不存在時，即x1＝x2，y1＝－y2，
由m·n＝0，得＝0⇒.
又A(x1，y1)在橢圓上，所以＝1，∴|x1|＝，|y1|＝，S＝|x1||y1－y2|＝1＝|x1|·2|y1|＝1.
②當直線AB斜率存在時，設AB的方程為y＝kx＋b(其中b≠0)，代入＋x2＝1，得
(k2＋4)x2＋2kbx＋b2－4＝0.
有Δ＝(2kb)2－4(k2＋4)(b2－4)＝16(k2－b2＋4)>0，x1＋x2＝，x1x2＝，由已知m·n＝0得x1x2＋＝0?x1x2＋＝0，代入整理得2b2－k2＝4，代入Δ中可得b2>0滿足題意，
∴S＝|AB|＝|b| ＝＝＝1.所以△ABC的面積為定值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓的圓心在坐標原點O，且恰好與直線相切.
(1)求圓的標準方程；
(2)設點A為圓上一動點，AN軸于N，若動點Q滿足（其中m為非零常數(shù)），試求動點的軌跡方程.
(3)在（2）的結論下，當時，得到動點Q的軌跡曲線C，與垂直的直線與曲線C交于 B、D兩點，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點是，又點在橢圓上．
（1）求橢圓的方程;
（2）已知直線的斜率為，若直線與橢圓交于、兩點，求面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面五邊形關于直線對稱（如圖（1）），，，將此圖形沿折疊成直二面角，連接、得到幾何體（如圖（2））

（1）證明：平面；
（2）求平面與平面的所成角的正切值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，過點A(－2，－1)橢圓C∶＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，短軸端點為B1、B2，＝2b2.
(1)求a、b的值；
(2)過點A的直線l與橢圓C的另一交點為Q，與y軸的交點為R.過原點O且平行于l的直線與橢圓的一個交點為P.若AQ·AR＝3OP2，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓，過橢圓上一點作傾斜角互補的兩條直線、，分別交橢圓于、兩點.則直線的斜率為          .

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

設雙曲線的虛軸長為２，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為(    )
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知是橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于兩點，若的周長為，則橢圓方程為（　　）
A．B．
C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

曲線是平面內(nèi)與定點和定直線的距離的積等于的點的軌跡.給出下列四個結論：
①曲線過坐標原點；
②曲線關于軸對稱；
③曲線與軸有個交點；
④若點在曲線上，則的最小值為.
其中，所有正確結論的序號是___________．

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