Question

【題目】已知函數(shù)為其定義域內(nèi)的奇函數(shù)．

（1）求實數(shù)的值；

（2）求不等式的解集；

（3）證明： 為無理數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）利用恒成立即可得結(jié)果；（2）利用，考慮函數(shù)的定義域即可得結(jié)果；（3）利用反證法，設(shè)，導(dǎo)出矛盾，即得證.

試題解析：（1）因為為其定義域內(nèi)奇函數(shù)，

所以 ，

即

即

所以

當時，對數(shù)無意義，故舍去，

所以

（2）的定義域為

由, 得

又因為的定義域為

所以得解集為

（3）（）

假設(shè)為有理數(shù)，則其可以寫成最簡分數(shù)形式，而且唯一的，

設(shè)（其中為兩個互質(zhì)的正整數(shù)）

得 ，即 （*），

因為為兩個互質(zhì)的正整數(shù)，

所以為奇數(shù)， 為偶數(shù)，顯然奇數(shù)不等于偶數(shù)，

所以（*）式不成立…

所以假設(shè)不成立，

所以為無理數(shù)…