Question

1．設(shè)k是一個(gè)正整數(shù)，（1+$\frac{x}{k}$）^k的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)為$\frac{1}{16}$，任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，如圖，則點(diǎn)（x，y）恰好落在函數(shù)y=x²與y=kx的圖象所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)的概率為（　�。�

• A． $\frac{17}{96}$
• B． $\frac{5}{32}$
• C． $\frac{1}{6}$
• D． $\frac{7}{48}$

Answer 1

分析 先利用二項(xiàng)式定理求出k的值，再利用積分求陰影部分的面積，積分的上下限由方程組求得，然后利用幾何概型的概率公式解答．

解答 解：根據(jù)題意得${C}_{k}^{3}$•${（\frac{1}{k}）}^{3}$=$\frac{1}{16}$，整理得5k²-24k+16=0，
解得k=4或k=$\frac{4}{5}$（不是整數(shù)，舍去）；
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y{=x}^{2}}\\{y=4x}\end{array}\right.$，
解得x=0或x=4；
∴陰影部分的面積為：
S′=${∫}_{0}^{4}$（4x-x²）dx=（2x²-$\frac{1}{3}$x³）${|}_{0}^{4}$=2×4²-$\frac{1}{3}$×4³=$\frac{32}{3}$，
任取x∈[0，4]，y∈[0，16]，則點(diǎn)（x，y）對(duì)應(yīng)區(qū)域面積為：
S=4×16=64，
由幾何概型概率求法得點(diǎn)（x，y）恰好落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為：
P=$\frac{S′}{S}$=$\frac{\frac{32}{3}}{64}$=$\frac{1}{6}$；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了定積分、二項(xiàng)式定理和幾何概型的概率計(jì)算問題，應(yīng)用定積分求平面圖形面積時(shí)，積分變量的選取至關(guān)重要，是綜合題．