Question

11．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x}{x-2}+cos\frac{π}{4}x$在[0，2）上的最大值為a，在（2，4]上的最小值為b，則a+b=（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由函數(shù)g（x）=$\frac{x}{x-2}=1+\frac{2}{x-2}$在（-∞，2），（2，+∞）單調(diào)遞減，函數(shù)h（x）=cos$\frac{π}{4}x$在[0，4]單調(diào)遞減，可得函數(shù)$f（x）=\frac{x}{x-2}+cos\frac{π}{4}x$ 在[0，2），（2，4]上單調(diào)性，即可求得a，b即可．

解答 解：函數(shù)g（x）=$\frac{x}{x-2}=1+\frac{2}{x-2}$，函數(shù)g（x）是函數(shù)y=$\frac{2}{x}$向右平移2個單位，
向上平移1個單位，故函數(shù)g（x）在（-∞，2），（2，+∞）單調(diào)遞減；
對于函數(shù)h（x）=cos$\frac{π}{4}x$，由2k$π≤\frac{π}{4}x≤2kπ+π$（k∈Z），得8k≤x≤8k+4，故函數(shù)h（x）在[0，4]單調(diào)遞減．∴函數(shù)$f（x）=\frac{x}{x-2}+cos\frac{π}{4}x$在[0，2）上單調(diào)遞減，故其最大值為f（0）=a，∴a=1，函數(shù)$f（x）=\frac{x}{x-2}+cos\frac{π}{4}x$ 在（2，4]上單調(diào)遞減，其最小值為f（4）=b，∴b=1．所以a+b=2，
故選D．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值，屬于中檔題．