Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，且a_n+1=2a_n+（2n-1）（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 把已知的數(shù)列遞推式變形，得到數(shù)列{a_n+1-a_n+2}是以5為首項，以2為公比的等比數(shù)列，寫出等比數(shù)列的通項公式后結(jié)合a_n+1=2a_n+（2n-1）（n∈N^*）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：由a_n+1=2a_n+2n-1，得
a_n+2=2a_n+1+2（n+1）-1，
兩式作差得：a_n+2-a_n+1=2a_n+1-2a_n+2，
則$\frac{{a}_{n+2}-{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-{a}_{n}+2}$=2，
又a₁=2，∴a₂=5，
a₂-a₁+2=5．
∴數(shù)列{a_n+1-a_n+2}是以5為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
則${a}_{n+1}-{a}_{n}+2=5•{2}^{n-1}$，
即2a_n+（2n-1）-a_n+2=5•2^n-1．
∴${a}_{n}=5•{2}^{n-1}-2n-1$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，是中檔題．